11.4. Прием решения арифметических задач «на процессы»

Прежде всего, отметим, что ориентировочная основа действий, составляющих умение решать эти задачи, лежит вне арифметики: для того, чтобы описать математическим языком ситуацию, приведенную в условии задачи, необходимо выделить в этой ситуации основные элементы и их отношения.

Все эти задачи основаны на одних и тех же понятиях: скорость, время и результат («продукт») процесса, к которому процесс приводит или который он уничтожает.

В силу этого учащимся можно дать общий прием решения всех арифметических задач на процессы, построить его ориентировочную основу по третьему типу. Ориентировочная основа умения решать задачи «на процессы» включает в себя понятия: скорость, время, продукт процесса.

Для успешного решения задач данного типа необходимо также понимать отношения между основными элементами ситуации: а) величина продукта прямо пропорциональна скорости и времени; б) время, необходимое для получения продукта, прямо пропорционально величине продукта и обратно пропорционально скорости и т.д. Далее важно усвоить, что по двум из этих элементов всегда можно найти третий, если речь идет об одном участнике процесса (об одной действующей силе). В самом деле, S = Vx Т; V = S : Т; Т = S : V. Наконец, если продукт создают несколько участников, то в этом случае появляется новая система отношений - отношения между частными и общими значениями по каждому параметру, определяемые характером участия отдельных сил: помогают участники друг другу или противодействуют, одновременно или разновременно участвуют в процессе и т.д. В данном случае общая скорость, например, может иметь следующее выражение: V0 = V1 + V2 (если участники помогают друг другу); V0 = V1 – V2 (если участники противодействуют) и т.д.

Все это входит в состав данного умения и составляет программу того, чему в данном случае следует учить. Только после усвоения всех основных элементов и их отношений может быть дан общий метод анализа, позволяющий устанавливать систему отношений в условиях любой конкретной задачи данного типа.

Прежде всего у обучаемых надо сформировать систему понятий: время, скорость, продукт процесса. Проверка показывает, что обычно учащиеся не владеют ни этими понятиями, ни отношениями между ними. Так, например, у многих учащихся не отдифференцировано даже время как определенный временной момент (точка отсчета) и время как некоторый временной интервал. (Если, например, в задаче говорится, что поезд отправился в 10 часов утра, учащиеся считают, что время его движения равно 10 часам.)