В течение нескольких лет А. К. Звонкий занимался математикой с дошкольниками – детьми 5-6 лет. Содержанием этих занятий было изучение детьми некоторых весьма общих отношений между объектами реального мира, а также открытие – большей частью наглядное – некоторых общих закономерностей.

Например, еще из исследований Пиаже известно, что четырехлетний ребенок с немалым трудом постигает содержание отношения общее-частное, целое-часть. Разумеется, на занятиях Звонкина такие слова не произносились. Но если ребенку показать картонные фигурки с четырьмя углами и выделить среди них такие, у которых все углы прямые, а из этих фигурок такие, у которых при этом стороны одинакового размера (в чем ребенок может убедиться сам), то через некоторое время ребенок не будет удивлен тому, что у квадрата – три имени: квадрат, потому что у него стороны одинаковые, прямоугольник, потому что у него углы прямые, и четырехугольник, потому что этих углов – четыре. Параллельно выясняется сходство такой задачи с вопросом о том, являются ли папы и дедушки – мужчинами, а мужчины – людьми.

В другой задаче дети должны были строить с помощью игры-мозаики последовательности определенного вида из разноцветных фишек (фишки вставляются в дырочки квадратного поля мозаики). Возник вопрос о том, как зафиксировать те последовательности, которые уже были построены, чтобы не повторяться. Иначе непонятно, как из того же набора фишек разных цветов можно построить новые цепочки той же длины.

Предположим, у ребенка есть фишки двух цветов – белые и красные. На первый взгляд, чтобы изобразить цепочку из белых и красных фишек, необходимо нарисовать белый и красный кружки. «Но у нас нет белого карандаша», – говорит преподаватель. Ребенок должен каким-то образом прийти к мысли о том, что можно обойтись не только без белого, но и без красного карандаша -важно лишь иметь карандаши двух разных цветов. Иными словами, надо найти способ обозначить разницу между двумя фишками.

Но, вообще говоря, это ведь можно сделать и не с помощью разницы именно в цвете! Так ребенок подводится к идее означивания, знакового отображения предмета.